第4章刚体运动学基础4学时试卷.ppt 83页( 四 ) _加速度

* ppt/81 矢径法—质点的速度和加速度速度矢量的分量式式中字母头上加一点表示相应量对时间的一阶导数，以下用字母头上加两点等表示相应量对时间的二阶导数 * ppt/81 矢径法—质点的速度和加速度加速度矢量定义为速度矢量v对时间t的一阶导数或者矢径r对时间t的二阶导数，记为加速度矢量a(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿三个方向的分加速度，加速度分量式为 * ppt/81 自然轴系中的速度公式因为质点的速度矢量沿轨迹曲线的切线方向，根据任一矢量可以用其大小和代表其方向的单位矢量表示的性质，质点在任意时刻的速度矢量可以写为式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解为质点在dt时间里通过的路程瞬时速度公式，t表示在运动轨迹曲线上t时刻质点所在位置处的单位切线矢量。在研究质点的圆周运动等曲线运动时，采用自然坐标轴系计算质点的速度和加速度比较方便。* ppt/81 自然轴系中的速度公式速度矢量为上式表明：要计算速度的大小，只需用弧坐标s=s(t)关于时间参数t求一阶导数即可。该式也可利用速度矢量的定义式和计算复合函数导数的方法，得到式中导数dr/ds =t 表示t时刻质点所在位置处轨迹曲线的切线方向的单位矢量。
* ppt/81 自然轴系为了推导加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式，首先需要定义关于空间曲线的自然坐标轴系的两个单位法线矢量，它们是单位主法线矢量n和单位副法线矢量b 。对于由运动方程给出的空间曲线（对于平面曲线，z坐标恒等于零），其上一点的单位切线矢量t 可以表示为* ppt/81 其中b称为单位副法线矢量。由t 、n、b三个相互垂直的方向组成的坐标系称为自然轴系，它是一种局部坐标系，随点的位置变化而改变三个单位矢量的方向。自然轴系设Dt =t ′ -t，其中t =t (j),t ′=t (j+Dj)是曲线上A、B两点的单位切线矢量，则A点的主法线矢量n的方向定义为当Dj趋近于零，Dt（其大小约等于Dj）的极限方向，它与该点的切线矢量垂直，并可按下列公式定义单位长度矢量n和b ：* ppt/81 自然轴系： * ppt/81 自然轴系中的几个概念由一点的切线矢量和主法线矢量所确定的平面称为曲线上该点的密切面。将密切面绕一点的切线矢量t 旋转90°所得平面称为该点的切平面。将密切面绕一点的主法线矢量n 旋转90°所得平面称为该点的法平面。空间曲线上一点的密切面可以这样理解：它至少包含该点领域里部分曲线。
【第4章刚体运动学基础4学时试卷.ppt 83页】一般情况下，切平面和法平面在相切的位置处只与曲线上一个点相交，即只包含该点领域里曲线上一个点。* ppt/81 自然轴系中的几个概念密切面是理解自然坐标轴系的重要概念。对于任意一条空间曲线，曲线上不同点的切线矢量t 、主法线矢量n 、副法线矢量b是随点的位置发生变化的，在这个意义上，自然坐标轴系是曲线上一点的局部坐标系。为了得到加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式，还需要用到曲率或曲率半径的概念。下面，我们来推导质点运动的加速度公式。* ppt/81 自然轴系中的加速度公式根据加速度矢量的定义式及函数乘积导数公式，有式中最右端第一项是一个矢量，其方向沿轨迹的切线方向，其大小等于速度大小对时间的一阶导数，第二项等于速度的大小乘以单位切线矢量t 对时间的一阶导数，下面来计算该导数。根据求复合函数导数的方法可得到单位切线矢量t 对时间的一阶导数如下： * ppt/81 单位切线矢量导数公式式中dt为dt时间里质点前后位置单位切线矢量t的增量，dj、ds分别为前后两个位置单位切线矢量的夹角以及在dt时间里质点通过的路程。dt =ndj，导数dj/ds反映曲线在一点的弯曲程度，称为曲线在该点的曲率，记为k 。

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