建模研究/排队论模型和灵敏度检验分析 _排队论

一、排队论模型
排队论模型可用于多个领域，包括演唱会买票排队，就餐排队，就医排队等，排队论模型也是一种传统的模型，模型构建有套路，运行一般通过lingo软件进行运行。
◎首先进行字母定义：
Ls记为队长，指在系统中的顾客数
Lq是队列长，在系统中等待服务的顾客数，Ls=Lq+Ln，Ln是正在接受服务的顾客数
Ws是逗留时间，一个顾客在系统中的等候时间
Wq是等待时间，一个顾客在系统中排队等候的时间Ws=Wq+a，其中a为服务时间
Tb为忙期，服务机构连续工作的时间长度
Plost为损失率，由于系统的条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到损失的概率
服务强度：绝对通过能力A，表示单位时间内被服务完顾客的均值，或称为平均服务率，相对通过能力Q，表示单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比。
◎排队论的模型假设：
1. 顾客源是无限的，并且顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能。
2. 顾客到达时间的间隔和服务时间是相对独立的
3. 顾客流满足泊松分布，各顾客的服务时间服从参数为u的负指数分布
4. 排队方式为单一队列，队长没有限制。
◎排队论模型建立：
确定系统在任意时刻t状态为n的概率Pn（t）
根据假设可知，当△t足够小的时候灵敏度计算，在【t，t+△t】的时间间隔内，有一个顾客到达的概率为λ△t+o（t），没有一个顾客到达的概率为1-λ△t+o（t），有一个顾客被服务完的概率为：μ△t+o（t），没有一个顾客被服务完的概率为1-μ△t+o（t），多于一个顾客到达或被服务完离开的概率为o（t）。
【建模研究/排队论模型和灵敏度检验分析】现在考虑在t+△t时刻下的系统中有n个顾客的概率Pn（t+△t）有以下四种可能：

1. 时刻t的顾客数为n，Pn（t+△t）=Pn（t）（1-λ△t）（1-μ△t）
2. 在t时刻顾客数为n+1，Pn（t+△t）=Pn+1（t）（1-λ△t）（μ△t）
3. 在t时刻顾客数为n-1，Pn（t+△t）=Pn-1（t）（λ△t）（1-μ△t）
4. t时刻顾客数为n：Pn（t+△t）=Pn（t）（λ△t）（μ△t）
四种情况相互独立：
Pn（t+△t）=Pn（t）（1-λ△t-μ△t）+Pn-1（t）μ△t+Pn-1（t）λ△t+o（△t）
让△t趋近与0，dPO(t)/dt=-λP0（t）+μP1（t）
dPn（t）/dt=λPn-1(t)+μPn+1（t）-（λ+μ）Pn（t）
再假设t趋于无穷，于是有dPn(t)/dt=0，Pn(t)=Pn
在平衡状态下的微分方程为：
-λP0+μP1=0，λPn-1+μPn+1-（λ+μ）Pn=0，（n>1）
令ρ=λ/μ，表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，用于刻画服务效率。
由差分方程可知Pn=ρnP0
◎可计算出排队论主要的结论如下：
队长：
队列长：

逗留时间：Ws=1/（μ-λ）
等候时间=逗留时间-被服务时间，即Wq=Ws-1/μ=ρ/（μ-λ）
◎LINGO代码为：
Model:
S=2;R=3;T=2/5;load=R*T; （S,R,T数值根据具体情况设定）
Pwait=@peb(load,S);
W_Q=Pwait*T/(S-load);
L_Q=R*W_Q;
W_S=W_Q+T;
L_S=W_S*R;
End
二、灵敏度分析和稳健性检验
灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

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