四 [统计学笔记] 数据分布的数字特征_梅森上校的博客 _平均

（四）数据分布的数字特征数据的分布特征与使用的描述统计量

数据集中趋势
在统计研究中，需要搜集大量数据并对其进行加工整理，大多数情况下数据都会呈现出一种钟形分布，即各个变量值与中间位置的距离越近，出现的次数越多；与中间位置距离越远，出现的次数越少，从而形成了一种以中间值为中心的集中趋势。这个集中趋势是现象共性的特征，也是现象规律性的数量表现。
根据统计学知识，集中趋势指平均数，是一组数据中有代表性的值，这些数值趋向于落在数值大小排列的数据中心，被称为中心趋势度量。最常用的中心趋势度量有算术平均数、几何平均数、调和平均数、众数和中位数。
均值是一组数据的算术平均，它利用了全部数据信息，是概括一组数据最常用的一个值。
众数是一组数据中出现次数最多的变量值，它用于对分类数据的概括性度量，其特点是不受极端值的影响，但它没有利用全部数据信息，而且还具有不唯一性。一组数据可能有众数，也可能没有众数；可能有一个众数，也可能有多个众数。
中位数是一组数据按大小顺序排序后处于中间位置上的变量，它主要用于对顺序数据的概括性度量。
对于总体中的个体数据，有时会呈现出在一定范围内以某个数据为中心上下波动的分布特征，即数据有时具有它分布的中心，我们称之为数据分布的集中趋势。
集中趋势指标的分类

集中趋势指标的作用
可以反映一组数据分布的中心或一般水平；
可以反映同一现象在不同时间或空间条件下的发展趋势或差异；
以用来分析现象之间的依存关系；
样本平均数是统计推断的一个重要统计量。
集中趋势的测定数值平均数
数值平均数只适用于定量数据（数值型数据），而不适用于定性数据。
1、算术平均数
（1）简单算术平均数
简单算术平均数是根据未分组数据（原始数据）计算的一种平均数，它是将所有的原始数据相加再除以数据总个数得到的。
2、加权算术平均数

其中，Xi有两种情况：在单变量值分组中，Xi代表各组的变量值；在组距式分组中，Xi代表各组的组中值，

称作权重（频率）。

（3）算术平均数的主要数学性质
①各变量值与其算术平均数的离差之和等于零;
即：

②各变量值与其算术平均数的离差平方和最小。
即：

3. 调和平均数
调和平均数加权算术平均数的一种变形。
调和平均数与加权算术平均数的关系是：若已知各组变量值及其标志总量mi（mi=xifi ），而缺乏fi的数据时，则加权算术平均数可通过变形得到fi（fi=mi/xi）后，再以mi为权数的调和平均数形式来计算。

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