四 [统计学笔记] 数据分布的数字特征_梅森上校的博客( 三 ) _平均

4. 箱线图
将中位数、四分位数和其他指标结合起来，可以更详细的反应数据的分布特征。
箱线图是由一组数据的最小值（Xmin）、最大值（Xmax）、下四分位数（QL）、上四分位数（QU）和中位数（Me）这五个特征值构成。通过箱线图，可以观察数据的中心位置、离散程度及对称性等特征，同时还可以进行多组数据分布的比较。

算术平均数、众数和中位数三者的比较与应用
（1）算术平均数属于数值型平均数，它是根据全部数据计算的集中趋势测度值，因此可以综合反映全部数据的信息；众数和中位数属于位置型代表值，它们是根据数据分布的特定位置确定出的集中趋势测度值，因此不能概括全部数据的信息
（2）算术平均数和中位数在任何一组数据中都存在且具有唯一性，但不一定所有数据都存在众数，且众数也不具有唯一性。一般情况下，在数据量充分大并且具有明显集中趋势时，计算众数才有意义；
（3）算术平均数只适用于定量数据，中位数适用于定序数据和定量数据，众数则适用于所有数据，即定性数据和定量数据均可；
（4）算术平均数受极端值的影响，因此，当数据偏斜程度较大时（数据中存在极端值），不宜用算术平均数来代表数据的一般水平。众数和中位数不受极端值的影响，因此，当数据偏斜程度较大时，可以考虑用众数或中位数来代表数据的一般水平；
（5）算术平均数可以估计或推断总体特征值。而众数和中位数不宜用作此类推断
（6）算术平均数和众数、中位数的数量关系主要取决于数据分布的偏斜程度（非对称程度）

从而略使中位数偏小，而众数则完全不受极小值大小和位置的影响，因此一般情况下，三者的关系表现为X＜Me＜M0

（7）皮尔逊经验公式数据呈现偏斜但偏斜程度不大时，算术平均数、众数和中位数之间存在一定的比例关系，即
数据离散程度的测定
离散程度测定问题的提出
由于差异性是数据的本质属性，所以各个数据与其分布中心之间总是存在着不同程度的偏离。我们把数据偏离其中心值的程度叫做离散程度，离散程度可以说明数据之间差异程度的大小，那么如何测定一组数据的离散程度呢？
离散程度测定的作用
离散程度的大小主要通过变异指标来测定。变异指标的主要作用有：
离散程度的测定
离散程度的测定，可以采用异众比率，极差、四分位差或者平均差等。
异众比率
异众比率是指非众数组的频数占总频数的比重，通常用Vr表示，计算公式为：
式中：
是众数组的频数；
是变量值的总频数
异众比率的特点：
极差、四分位差和平均差极差
极差(Range)又称全距，是一组数据中最大值与最小值之差，通常用R表示。计算公式为：
极差的特点：极差是变异指标中最简单的测度值，其优点是计算简便、易于掌握。但因极差只利用了一组数据两端的信息，容易受到极端值的影响。因此，极差不能全面、稳定地反映数据的离散程度。

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