从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？ _导数

从导数和极限的定义出发，我将证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则。

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如果你想从头开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔-萨根
大多数学生看到的微积分中的幂函数求导公式（Power Rule，下称幂法则），通常没有证明或只有部分证明。事实情况是，学生从一个完整的证明中会学到更多的东西。即使你觉得这些教科书中给出的证明已经足够，再多一个证明也无妨。在这个证明中，我不仅将证明幂法则，还有：
证明积法则介绍归纳法的证明证明链式法则介绍一点实分析证明使用的要素?在这个证明中，我将只使用下面的“工具”：
极限的定义导数的定义任何你在标准代数课程中学的东西包括指数法则和各种代数结构（整数、有理数和实数）的属性这些限制将使我无法使用
对数的导数指数函数的导数或二项式定理我见过的大多数证明都至少使用了其中之一。
证明的结构?我的证明将有以下结构：
证明积规则证明n是整数的情况下，使用积规则和一些归纳法证明链式法则用链式法则证明n是有理数的情况证明n是一个无理数的情况，从而证明所有实数的幂法则积法则（The Product Rule）?我们知道，x^4= x ? x^3 。如果我们知道如何求x和x^3的导数，以及两个函数的乘积的导数，我们就可以求x?的导数。出于这个原因，我们将证明积法则。
我们要从导数的定义来证明积法则。首先，定义一个函数z(x)=f(x)g(x) 。然后，z相对于x的导数。由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。

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可能没有什么能让你眼前一亮，在这种情况下，我们要寻找一些方法，以不同的形式重写表达式。既然表达式中有一个f(x+h)和一个g(x+h)，我们就应该设法把f(x+h)-f(x)或g(x+h)-g(x)带入表达式中。这样我们就可以用导数来代替它们。在这种情况下，我们可以使用一个经典的技巧，即添加一个0 。例如，我们可以把f(x+h)-f(x+h)加到分子中，这样就不会有任何变化。我们要把( f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x))加到分子上，这时我们可以做代数：

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为了让证明更容易，我将分别处理每个极限，然后把它们放回一起。第一个极限是：

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第二个极限是：

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因此，我们已经证明了积法则，如下图所示：

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证明n是整数的情况?有三种情况：
n = 0n0n0如果我们证明每一种情况，我们就完成了这一部分。
证明n=0的情况

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这就完成了证明。
证明n0的情况
如果我们使用导数的极限定义对x、x2、x3……求导，你可能会看到这些导数遵循一个简单的规律：幂法则。证明n=0和n=1的情况是很简单的，因此，我们可能想尝试用归纳法证明。
归纳法的证明
要用归纳法证明什么，需要：
证明一个基本情况（个例）并证明每个情况都能证明下一个情况（弱归纳法）或证明所有已证明的情况都能证明下一个情况（强归纳法）。强归纳法和弱归纳法是等价的，但我不能在这篇文章中讨论这些细节。对于这个证明，我们要使用弱归纳法。在给你们展示了这个证明之后，我会试着给你们一个直观的感觉，为什么它是可行的。在此过程中，我将稍稍打破传统。通常，弱归纳证明指的是步骤2中的情况n和n + 1，但我将使用n - 1和n 。用n + 1替换n会将表达式转换回传统形式。

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