从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？( 三 ) _导数

证明n为有理数的情况?我们将使用一个类似于证明n0的方法。例如，我们知道如果对一个数求第q次方根，然后取它的第q次幂，就会得到开始时的数字。在数学中，这个表述是这样的：

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没有人会试图在一个函数不存在的地方取它的导数，所以我们只关心函数存在的地方的导数。在n为负整数的情况下，我们将遵循同样的过程。取两边的导数，使用链式法则，并求出导数：

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为了得到所有的有理数的情况，再考虑n=p/q时的情况，其中p和q是整数：

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这就完成了这一部分的证明。
证明n为无理数的情况?引用维基百科上关于幂法则的表述：
我们要把这个值定义为接近无理数幂的有理数幂级数的极限。这一部分的证明可能有一些错误，因为我从未见过有人以这种方式证明它，所以如果我搞错了，请在评论中告诉我。
每个无理数都可以被表示为有理数级数的极限。那么现在，让我们来设定一些定义：

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如果r=π，那么R4=3.1415 。如果r=sqrt（200），那么R3=14.142 。换句话说，Rk可以得到小数点后的k个数字。很容易看出，这个有理数级数的极限是r，你可以证明这一点，因为Rk和r的差值趋于零。所以，现在我们有两个极限，k→ ∞和h→ 0：

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如果我们先取k的极限，结果是：

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你可能认为极限的顺序并不重要（在这种情况下是不重要的），但在一般情况下，这并不能保证。如果我们能证明两个极限都是点态收敛的，并且至少有一个极限是一致收敛的，就能保证任意阶的极限都能得到相同的结果。这个事实被称为摩尔-奥斯古德定理（ Moore-Osgood Theorem）。
点态收敛
点态收敛意味着：

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无论在域中选取什么x，函数、都会收敛到x处的函数值。
我们已经证明了h极限是点态收敛的，因为它要么是x的导数的有理数次幂（我们在本文中已经证明它是收敛的），要么是x导数的无理数次幂，导数将是连续的。另一个极限也是点态收敛的，因为x^r和x^Rk之间的差值随着k的增加而趋于零。
一致收敛（均匀收敛）
一致收敛比点态收敛更有力。

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对于域中的所有x和一个任意的?0，必须选择一些自然数N，使得对于N之后的任何k，fk(x)和f(x)之间的差异都小于? 。
例如，假设领域是（4，5），r=sqrt（2），以及?=0.0001 。对于k4，fk(x)和f(x)之间的差值小于0.0001，所以N=4 。我不想把一致收敛性的整个证明讲一遍，但我可以给出一般的概述：
只关注x^r，因为在同一域上一致收敛的两个函数的和或差也会在同一域上收敛。首先，选择你要取导数的x 。我们把它叫做c 。选择一个小的h，使0不在（c-2h，c+2h）内。在0处，极限可能不存在无理数，所以我们并不关心。让域是（c - 2h, c + 2h）。由于x^r对于所有有限的r来说在有限域上是有限的，所以x^r和x^Rk之间的差值，对于域中的每一点也是有限的。既然每一点的差值都是有限的，那么这个差值一定有一个最小的上界。由于这个差值在每一点上都趋于零，所以最小上限也必须减少到零。既然最小上限为零，那么在某一点上它一定小于你选择的任何ε 。因此，我们已经证明x^Rk在相关区域内均匀地收敛于x^r 。因为fk是x^Rk在定义域内两点之差除以一个非零常数，所以k的极限也是一致收敛的。所有无理数

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