从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？( 二 ) _导数

基本情况
本节将很快，因为它只是代数。

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归纳步骤
在证明的这一部分，我们将证明，如果幂法则在n=m-1的情况下成立，那么m的情况也成立。这一部分我选择用m而不是n，因为我已经用n表示x的幂。如果幂法则在n=m-1时不成立，那么n=m的情况是否成立就不重要了，所以我们将假设幂法则在n=m-1时成立。

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归纳法的直观解释
如果你不相信这个证明是有效的，那么请选择任何一个自然数（这个证明对你选择的任何数字都有效），但我将向你展示n=3的情况，你应该看到一般的模式。首先，我已经证明了n=1的情况。现在，我将在归纳步骤中向你展示n=3这一特定情况下的证明：

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如果你对n=2的情况不相信，那么我们可以重新使用归纳步骤中对n=2的特定情况的证明：

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我只对n=1的情况使用了幂法则，所以你应该相信幂法则对n=3（和n=2）的情况都有效。
如果你碰巧是一个计算机科学家或程序员，你可能会认识到这是一个递归论证。在许多情况下，归纳法和递归法都可以描述一些东西，但它们会向相反的方向发展。
证明n0的情况
现在我们可以使用商法则来证明这种情况，但是积法则更容易记忆和使用。相反，我们将使用以下事实：
【从零开始推导幂法则，为什么深刻理解数学定义如此重要？】

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这些函数在x = 0处没有导数，所以我们不关心。我们可以取两边的导数，使用积法则，并求出导数：

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在这一点上，我们已经证明了所有整数的幂法则。
证明链式法则
用来证明积法则的方法是有效的，所以让我们试试类似的方法。由于我们想要的是h→0的情况，所以我们想要c-x→0，这相当于c→x，此外，x+h=c 。把这些代入导数的定义：

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你可能意识到，当c接近x时，g(c)接近g(x) 。如果你看过一些函数中的函数的导数的例子，你可能会注意到一个规律（试着求(x + c)^3或(x^2+ c)^2的导数，然后提出(x + c)或(x2+ c）) 。你可能会想到，取外函数相对于内函数的导数，这看起来像：

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如果你定义一个新的h=g(x)-g(c)，并注意到当c接近x时，h接近0，你可以把上面的导数重写如下：

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由于g(c)只是一个数字，这个表达式是f(x)在x=g(c)处的导数。我们知道如何计算这个表达式，所以如果回到原来的导数，我们会想在底部得到g(x)-g(c) 。在这种情况下，可以使用另一种经典技巧：乘以1 。就像加一个0一样。我们可以选择许多等于1的表达式，但是（g（x）-g（c））/（g（x）-g（c））会让我们得到正确的答案。

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最后，我们得到链式法则：

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这个证明存在的问题
我们在x附近使用一个a，使g(a)=g(c)，那么我们实际上没有乘以1，而是0/0（这是没有定义的）。对于我们所做的，这个链式法则的证明仍然有效因为只有当a = c时g(a) = g(c) 。如果试图在x=0处求一个类似sin( 1/x )的函数的导数，你会发现一个问题，因为你永远无法在x=0周围找到一个区域，函数在这整个区域内都是有定义的。为了绕过这个限制，你可以通过解析延拓来堵住这些漏洞。在这个证明中，这对我们来说并不重要，所以我将继续往下。

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