高数和数学分析教材推荐及其学习方法浅谈-iMath-博客园( 三 ) _数学

“欲做好事，先利其器”，为了达到高等数学学习中的“先看大纲”，我推荐的入门教材是克莱恩的：安与（），这本书可以说是为这个目的而生的——你读完本书第二版的序言（TO THE FIRST）之后，你就会知道，我推荐大家想学习进阶数读这本序言，它很有帮助！下面我将在前言中转述几点，可能对大家学习有所帮助。
有两种方法可以教授初级微积分：严谨和直观。克莱恩认为应该以直观的方式来做，应该谈谈它在教学中的应用。严谨的方式适用于高级微积分。课程。使用严谨的方法进行入门课（我认为这是当今中国的普遍做法）有以下缺点：首先，严谨的方法需要初学者学习许多微妙而难以捉摸的概念，这对初学者来说是非常困难的。很难，更何况有些概念的提出让数学家们困惑了两百年。在为微积分建立严格基础的那些日子里，即使是像柯西这样的伟大数学家也混淆了连续和可导（和）以及收敛和一致收敛（和）之间的区别。其次，如果一个学生想要学习一个概念或定理的严格表述，他必须知道严格表述所传达的思想原型是什么，以及最初的直观思想是什么（这很可能是我们需要看看相关的数学史。顺便说一句：读数学史对我们学习数学也很有帮助），然后就可以理解严谨表达的意思了——为什么严谨表达可以避免直觉的不足表达，严谨地表达要得到什么样的结果，传达什么样的思想，这必然会增加学生的学习量，而初学者如果想这样学习，那么他要学习的内容会很如此庞大，可想而知他的学习进度会很慢，而且他也极有可能纠结于学科的细节，进而看不到学科的全貌；第三，让他初学者从一开始就学习组织严密的内容，会让他们看不到知识产生的过程，很容易想到：“高等数学是衍生出来的，而这门学科建立的每一步“是的。毫无疑问，一个好的数学家的思维方式是循序渐进的，所有的细节都经过仔细处理后才得出结论。”但实际上并非如此，数学知识的生成也可以通过“理解。当前面的实践出现问题时，再改正”，“微积分的构建是自上而下构建的” .
微积分的开始显示了它强大的力量。解决了许多过去被认为无法实现的难题，取得了辉煌的胜利。创立微积分的大师们将目光投向了开发强大的方法来解决各种各样的问题。他们没有来得及为这个新学科建立起经得起推敲的严密理论基础。在后来的发展中，后人对逻辑的细节进行了逐一的修复”（摘自张竹生《数理分析新讲》序），这意味着数学家的思维方式并不总是循序渐进的。他们的思维方式也可以是跳跃式的、想象力丰富的，也可能是不精确的或错误的。不像写证明的过程中那样讲究每个点的顺序，而是一步一步接近终点。总而言之，有时甚至会先有一个“猜测”，然后再验证中间过程。克莱恩在他的书中也进行了探索，表明数学理论可以通过先猜测，然后尝试和摸索，然后意识到你有犯了错误，然后改正，我觉得很有价值，因为它向初学者展示了数学理论的思维过程，向我们展示了如何学习数学，这也避免了我们遇到一些离奇的意外当我们阅读其他一些类似书籍时的“神奇笔触”——为什么作者会想到这种转变，这种结构？
严谨性在数学中具有重要意义。是对最初想法的验证，对初步想法的提炼，避免直觉可能带来的错误或遗漏。（著名数学家亨利·勒贝格）说：“严谨和逻辑可以帮助我们否定猜想和假设，但不能产生任何猜想和假设。”数学的核心思想来源于直觉思维，严谨并不能给这些数学思想带来质的变化，它的作用只是巩固和去除虚假，保持这些思想的真实。此外，严谨的表达方式不易掌握，对我们理解数学思想也没有多大帮助，因此以严谨的方式教授微积分入门对初学者不利，引自克莱恩（英国作家、文学评论家和诗人）的评论这种方法的教学效果：“我给你提供了它的证明过程，但我没有义务帮助你理解它。”

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