自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有 _有理数

在网上翻到一个非常有意思的问题：

文章插图
这个问题乍看起来无厘头，但实际上是个非常深刻的问题，涉及到抽象代数(abstract algebra)的一些基本概念，因此我打算写篇文章来详细阐述一下。
人类的数学从数数开始，最早诞生的概念是自然数(natrual number) 。后来随着数学应用范围的扩大，又产生了新类型的数。
初中时我们对数的体系做了详细地介绍

文章插图
到了高中我们又学了集合的概念，从集合的角度来研究数。为了叙述的方面，我们把由不同类型的数组成的集合用一个字母来表示，我们学过的有如下几个：
自然数集：N整数集：Z有理数集：Q实数集：R复数集：C相信很多小伙伴在这里也会碰到同这位网友一样的疑问：无理数(irrational number)也是很重要的数的类型，为什么它们的集合没有字母表示呢？是书上忘了讲，还是说数学家懒得起名字？
其实，无理数集没有用字母表示是有其中的道理的，要弄清楚这个道理，就得先弄清楚三个基本概念：集合(set)，二元运算(binary operation)，和封闭(closed) 。
基本概念集合集合这个概念我们已经很清楚了，指的就是具有某些特定性质的元素做成的集体。当然关于集合的精确定义还有很多需要讨论，但是理解到这个层次也就足够了。
二元运算二元运算我们其实也已经很熟悉了，但是之前没有给它做出过精确的定义。用不太正式的语言来叙述，一个二元运算就是一种把两个数变成一个数的对应法则。比如加法就是一个二元运算，因为他把1和1变成2，把2和3变成5等等。同样道理，四则运算加减乘除都是二元运算。
不过我们一般把减法运算看作是加法运算的逆运算，把除法运算看作是乘法运算的逆运算，因此最基本的二元运算只有两种。

文章插图
于是有人就会问了，既然有二元运算，那有没有一元运算呢？当然是有的，所谓的一元运算，无非就是把一个数变成另一个数呗，我们常见的，比如对数运算，开方运算，都是一元运算。但其实，所谓的一元运算，就相当于我们学过的函数。
同样道理还会有三元运算，四元运算，n元运算等等，我们不再做过多讨论。

文章插图
封闭“封闭”其实是理解本文最核心的一个概念。
封闭是建立在集合与二元运算的概念的基础之上的。
对于某个数集和某种运算，如果从该数集里面任意挑两个数，做二元运算所得到的结果仍然是这个集合中的数，就说该数集对于这个二元运算是封闭的。
比如举个最简单的例子，自然数集对加法就是封闭的，因为任意两个自然数相加的结果，还是一个自然数。而自然数集对减法运算不封闭，比如我随便就可以举出两个数来2和3，他俩都是自然数，但是2-3=-1，它就不是自然数了。

文章插图
封闭要回答本文提出的问题，就得从封闭这个概念来着手。
我们先来分析一下已知的集合对四则运算的封闭性。
自然数集N，对于加法运算和乘法运算都是封闭的，但是对于减法运算和除法运算不封闭。整数集Z，对于加法运算，减法运算，乘法运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。有理数集Q，对于四则运算都是封闭的。实数集R，对于四则运算都是封闭的。复数集C，对于四则运算都是封闭的。这里我想特别强调一下有理数集，有理数集对加减乘除4则运算都封闭，不是一件很明显的事情，我们需要有严格的证明。

以上关于本文的内容，仅作参考！温馨提示：如遇专业性较强的问题（如：疾病、健康、理财等），还请咨询专业人士给予相关指导!

「辽宁龙网」www.liaoninglong.com小编还为您精选了以下内容，希望对您有所帮助：