自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有( 二 ) _有理数

所谓有理数就是可以写成两个整数之比的数，所以我们假设有两个有理数b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整数，考察一下它们做四则运算的结果：

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可以看出，四个运算结果依然都还是有理数，这就证明了有理数集对四则运算都是封闭的。
这里我想说的是，数学家们已经证明了：有理数集是对加减乘除四则运算都封闭的最小的数集。意思就是说任何比有理数还要小的集合，哪怕只比有理数集少一个数，就不再对加减乘除四则运算封闭了。

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在抽象代数学中，我们把对加减乘除四则运算都封闭的集合称为一个数域(number field)，可以看出，实数集和复数集都是数域。而我们上面提到的结论就是：有理数集是最小的数域。换句话说，任何数域都包含有理数集作为它的子集。
无理数集分析完这些，我们就可以来看看无理数集了。我们会发现，无理数及对四则运算都不封闭。我们很容易就能举出例子来：
对加法：√2和-√2都是无理数，但是加在一起等于0，0不是无理数。对减法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，结果也是0 。对乘法：√2×√2，结果是2，2不是无理数。对除法：√2÷√2，结果是1，1不是无理数。

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原来无理数集是个如此糟糕的集合！这就是我们不给它用字母表示的原因。
在现代代数学中，数学家们主要关注的就是集合及集合中元素的运算结构，产生了群(group)，环(ring)，域(field)等一系列概念。
一个集合上某个运算是封闭的，那么研究它才有意义，会有很多很美好的性质。但是如果运算不封闭，那么研究起来就会杂乱无章，并没有太大意义。

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对于前面五个集合，都存在至少一种运算使其封闭，我们就利用这种封闭性来得出不少新的性质，解决了很多数学问题，甚至构造出更多更复杂的结合。数学家们经常使用这五个集合，为了叙述上的方便，就拿五个字母来代替他们。
但是对于无理数集合，因为它对四则运算都不封闭，因此无法得到像前面五个集合那样丰富的性质，使用起来也就不如它们频繁，所以我们就没有必要拿一个单独的字母来命名它。
结束语讲到这里就不得不稍微提一下近世代数(modern algebra)的发展。
近世代数中最主要的概念——群，思想起源于19世纪法国数学天才伽罗瓦(Galois，1811～1832) 。伽罗瓦利用群论的方法，彻底解决了五次及以上方程根式解的问题，是数学发展史上开天辟地的事情。我这位旷世数学天才却因为意外而英年早逝，年仅21岁，是人类数学史上的一大憾事。

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不过，我们现在在教科书上学到的代数学之所以长这个样子，则主要归功于20世纪德国女数学家，被誉为“现代代数之母”的艾米·诺特(Emmy Noether，1882～1935) 。诺特是数学史上毫无争议的最伟大的女数学家，他和他的学生所形成的“诺特学派”，彻底改变了代数学的全貌。
【自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有】

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