一道初中几何题-求正方形内等边三角形的面积 _直角三角形

一道初中几何题-求正方形内等边三角形的面积
正方形ABCD内有一个等边三角形CMN，若正方形的边长为1，求等边三角形的面积。

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解：既然CMN是个等边三角形，有CM=CN=MN, 另外正方形CD=CB，所以直角三角形CDM和直角三角形CBN是全等的，由此得出NB=MD，设NB=x, 根据勾股定理：

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此外AN=AM=1-x,
对于等腰直角三角形：
【一道初中几何题-求正方形内等边三角形的面积】

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根据等边三角形CM=MN有：

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解这个方程：

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由此求出：

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另一个根因为大于1，所以舍去。
因此：

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这里CN不需要直接开方求出，因为要求的是三角形的面积。
在等边三角形中若边长是x，那么它的面积为：

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这个公式利用等边三角形的高是(√3x)/2, 底边为x,很容易证明出来，对于备考的初中生，应该将其理解后记住，或者是现场直接推导。
将上面的CN的平方带入这个公式：

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这就是等边三角形CMN的面积。
根据上面的推导，可知过一个正方形的顶点符合条件的等边三角形只有一个。

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