几张图让你明白行列式的性质 _数学

作者，【陌生，爱），哆嗒数学网群友，就读于湖北理工学院。
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今天小编想给大家讲一下行列式，诸位看到行列式是不是觉得特别亲切，大一的时候学习行列式有没有很痛苦啊？——反正当年小编学习这个是及其痛苦的——也许我比较笨吧，:) 。
是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式定义？一般的教材对行列式的定义大概两种吧，逆序定义和展开式定义，无论哪种定义方法，都让我当你感觉莫名其妙，一直要到很后面学习了线性方程组，建立了方程与行列式的联系，才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下，学习行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。
今天小编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义，从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式，并用几何方法来介绍行列式的基本性质。
那我们现在开始来说说行列式吧！首先来看简单的二阶行列式：

文章插图

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如上图，平行四边形OACB的面积为：

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毫不意外的（取m = l = 1），我们用这种方式来记忆和角公式：

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因此二阶行列式的值，可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积。那么三阶行列式表示什么含义呢？n阶行列式又代表什么含义呢？类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积。当然n阶行列式就由n个n维向量组成，其结果为n维平行多面体的体积。
下面的文字我们将来解释行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式性质的几何解释，这里我们取二阶或者三阶行列式进行说明。
性质1：行列互换行列式不变（转置）。
数学语言表述为：

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几何解释：很显然平行四边形两条邻边互换，它的面积依然不变。
这说明行列式的行和列等价，也就是说凡是对行成立的性质，对列也成立。
性质2：以一常数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。
数学表述为：

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对于二阶行列式，我们看上图就很直观，我们将其中一个向量变成原来的k倍，面积也跟着变成了原来的k倍。

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类似的三阶行列式有，平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。

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性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式对应的行一样。
数学表述为：

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如图所示，图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面体的体积之和，也就是说一个行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的和。

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