数学“无用”而骄傲的数学工作者，我实在没有资格回答 _数学

作为一个一直在研究纯数学并且一直以自己研究的数学的“无用”为荣的数学家，我真的没有资格回答这个问题。写下这个答案只是为了吸引别人。希望更多熟悉理工科和经济学的朋友能写出更满意的答案。

引入线性代数的初衷是为了简化多变量情况下的代数运算，以高斯消元为例。数学的主要目的之一是求解方程，而线性方程是第一个被完全求解的。一维线性方程容易，二元线性方程不难（鸡和兔笼问题），三元线性方程好吗？那么n元线性方程呢？ ? ...？没有学过线性代数的同学可能会觉得越来越难。而线性代数告诉我们，这些问题本质上只是数字的加减乘除。也就是说，如果你有足够的耐心，一个变量的线性方程就像一个 n 变量的线性方程一样简单！！！再进一步，线性代数基本上是在处理大量数据时首先想到的，比如线性规划（在线性约束下寻找最优解，类似于最大化利润），统计分析中的线性回归模型等。最后，线性代数也是纯数学许多方向的起点。群、环、域、多项式、环上的模、代数扩展、切向量空间、张量等基本概念。代数和几何对象都可以从线性代数开始。

高数的实际应用（我这里主要了解微积分）更广泛。简单来说，微积分用于理解不断变化的对象。从一个简单的例子开始，我们知道如何计算正方形、长方形、圆形的面积，也知道如何求立方体、圆柱体甚至圆锥体的体积（你确定你能找到体积吗？圆锥的面积？），但是如何找到椭圆的面积？如何求一个桥拱的表面积？ x轴正弦余弦函数的面积？ ...？更具体地说，如何求一个函数在指定区域的最大值和最小值（如果只是多变量的线性函数，线性规划可以告诉你答案）？这些都是微积分可以教给你的。另外，你知道工程中广泛使用的傅里叶变换吗？你知道哪些微分方程模型在经济学中被广泛使用？至于物理学中的方程术数和高数，那就更多了。值得指出的是，微积分和线性代数也有重要的联系。例如，多重微积分将引入雅可比矩阵。至于纯数学，微积分中的连续性思想几乎是进入高等数学的标志，还有各种基本函数和性质的介绍，无穷级数的收敛和发散术数和高数，复分析，最后进入微积分流形，真正开始了现代数学的探索。

【数学“无用”而骄傲的数学工作者，我实在没有资格回答】的确，绝大多数人不需要处理复杂的数据，也不需要使用各种经济学模型来帮助自己省钱或赚钱，也不需要用方程式来理解这个世界上发生的各种物理现象。真的吗？如果你确定你真的不需要它，那么首先不要忘记你的日常生活从这些背后的数学中受益匪浅。（你确定你的余生真的不需要它吗？当你需要它的时候有人会一直在你身边吗？）

那我还是想谈谈线性代数和微积分对思维方式的影响。从具体到抽象，从低维到高维，从特殊到一般，数学首先要改变的是你的思维角度。然后是运用归纳逻辑的演绎方式。为什么我们可以从这一步走到下一步？这里读者可以具体思考一下高斯消元法与n元线性方程组解的关系。而经过一段时间的逻辑推演，你会惊讶于你最终得到的如此简单而美丽的表达吗？这里我们可以以欧拉恒等式为例。相对简单的概念是为什么逆矩阵可以轻松求解所有 n 元线性方程组，以及为什么积分可以给出面积或体积公式。

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