2006江西高考数学第9题

如图
双曲线x^2/9-y^2/16=1的左右焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0)
左右顶点分别为(-3,0)、(3,0)
所以,圆(x+5)^2+y^2=4正好是以F1为圆心,半径为2的圆【且它干好与双曲线的左支相切】
圆(x-5)62+y^2=1是以F2为圆心,半径为1的圆
要保证|PM|-|PN|最大,则当|PM|最大、且|PN|最小时其值必定最大
点M为圆F1上的点,要使得|PM|最大,则点M为PF1的连线与圆F1远端的交点时最大,
此时:|PM|=|PF1|+|F1M|=|PF1|+r1=|PF1|+2
同理,点N为圆F2上的点,要使得|PN|最小,则点N为PF2的连线与圆F2近端的交点时最小 。
此时,|PN|=|PF2|-|F2N|=|PF2|-r2=|PF2|-1
所以:
|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3
而由双曲线的定义有:|PF1|-|PF2|=2a=6
所以,|PM|-|PN|有最大值=6+3=9
【2006江西高考数学第9题】答案:D 。


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