谈谈上海张医生讲话中两个数学概念的区别

最近有新闻报道说,美国人均预期寿命在2020年出现急剧下降,并在2021年继续下降:
美国全人群的预期寿命2019年为78.86岁,而2020年为76.99岁,2021年降至76.6岁 。
类似的报道去年就有了,美国疾病控制中心的报告还警告“美国人平均预期寿命降幅或达到二战以来的最高值 。”

谈谈上海张医生讲话中两个数学概念的区别

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作为对比,有报道说预计到2035年,中国的人均预期寿命达到80岁以上 。
于是乎,有人翻出2020年上/海张(文*宏)医生在一次演讲中的话:
因为现在所有美国人的一个新冠死亡数值的中位数值是多少呢,是83岁不到一点,但是美国整个国家的期望寿命,也是83岁不到一点 。所以现在新冠死掉的人,不影响这个国家的整体的寿命,变成是一个非常自然的、一个natrue的一个疾病的一个事件 。
我是第一次浏览到这个名为“共/生/共/存”的演讲,该演讲据说还颇有名 。
不过张医生的上述讲话中有些表达令人不解 。
他比较了两组数据,一是新冠死亡数值(用A表示,应该指的是死亡人的年龄)的中位数(C),一是美国整个国家寿命(B)的期望(D),即他在比较A的C与B的D 。
A比较好理解 。B说寿命,不太清楚指的是什么 。可能指的是人均预期寿命?预期寿命的概念举例解释如下:
在2019年,中国人的人均预期寿命是77.3岁,是指在2019 年出生的人平均可以活到77.3岁;在2018年,中国人的人均预期寿命是77岁,是指在 2018 年出生的人平均可以活到77岁 。
如果B是指预期寿命,应该指定时间?所以,令人不解的是,A似乎与B不同,A也不见得是B的抽样(B究竟指什么,实际未能从演讲中那里弄清楚),而且C与D也不同 。这两者不见得能比较 。
C和D涉及数学 。
我们下面想普及:C和D是不同的,即中位数、期望是不同的数学概念 。两个概念混在一起谈可能会影响结论 。
谈谈上海张医生讲话中两个数学概念的区别

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或许需要强调,下面仅讨论这两个数学概念的区别与联系,为部分读者作下数学普及 。我们不论数据真假,不聊观点是非,……,即其他内容什么都不谈,既不对人也不对“事”,也没有其他目的,仅作数学普及 。
假设随机变量是一个连续型随机变量,概率分布密度为,则该分布(或说随机变量)的(数学)期望为
期望也称为均值,就是通常理解的平均值 。
而的中位数指的是一个满足如下条件的常数:

对连续型随机变量,中位数是如下方程的解:
其意义是指的值有一半的可能性比中位数大,也有一半的可能性比中位数小 。
对正态分布这样的对称分布,期望和中位数其实是相等的 。但有很多分布,期望和中位数是不同的 。
如假设服从参数为的指数分布,其概率密度函数为
则容易计算得知它的均值为 。而它的中位数为 。这是因为若

我们可以注意到,对指数分布,中位数比期望要小些 。
中位数,均值都是描述数据(分布)的集中程度的,但具体使用什么样数字特征更好,需要仔细考虑 。
如研究某个城市居民的收入情况,按照某种神秘的定律(如所谓的二八定律,百分之二十的人掌握了百分之8八十的财富),人们倾向于用收入的中位数来刻画,如果用平均数(人均收入),许多人可能都要惊呼(“惭愧”)拖了城市的后腿 。
国家居民收入也类似,下面是国家统计局发布的数字,从中可以感受到中位数与平均值的差别:


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