以欧几里得《几何原本》为代表希腊数学的公理化论证( 二 ) _数学

先生。吴文君一直强调，与希腊数学（以欧几里德的《几何学》为代表）的公理论证不同，中国古代数学是算法数学。不难理解，看看我们的前辈创造了多少“技巧”：

正如吴文君先生总结的：“中国古代数学是一套完整的算法集合。”因此，我们必须了解中国古代数学。，有必要了解一些有代表性的算法。下面我们选择其中的几个，简单介绍一下。
1
比较减法技术
第一个例子是吴文军老师自己给的，就是求两个正整数的“更公因数” 。减法” 。
一个典型的例子是求最大公约数，中国古代称为“多相减法” 。在中国古代数学中，最大公约数称为“等数” 。就几句话！例如，求24和15的最大公约数，即“等数”，“多减”的步骤如下：
(24,15) → (9,1 5) → (9,6) → (3,6) → (3,3)
所以“相等”是 3. 美丽！
《多相推演》出自《算术九章》，一般简称《九章》，是我国第一部数学专着，共九章。《九章》最迟于公元 100 年定稿，但其作者无法考证。后世流行的版本是《九章算术笔记》（公元263年出版），由三国时期数学家刘徽加工而成。指出“多相减法”的原理是：在运算过程中，整数逐渐减少，但其相等数保持不变。顺便说一句，《九章》主要是用“多相减法”来减少除法，所以完全包含在“减少技巧”中：“假设分母和孩子的个数，以少减多，而减少差异，并找到当量。使用当量计算。即求分子，即分母的最大公因数（等数）中国传统术数学怎么算自己，然后将分子和分母除以最大公因数。
刘辉《九章算术笔记》
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在现代教科书中，“逆除法”（又称欧几里得算法）通常用于求两个正整数的最大公约数。它是“减法”的一种变体，其基础是所谓的余数除法。
除法定理：设a和b为两个整数，其中b>0，则存在唯一整数q和r使得
a=qb+r,（其中r满足0≤r
定理中的q称为a除以b的商，可以用以下性质来表征：qb在b的所有倍数中不超过a的最大一个； r 称为 a 除以 b 的余数，由 r=a-qb 确定。余数除法名称的由来是等式右边有余数r 。当余数r=0时，称为b整除a，b是a和b的最大公因数。
我们不打算引入欧几里得算法，因为在解决另一个与求最大公因数问题密切相关的问题时，中国古代数学家在本质上也创造了同样的算法，只不过它改名为“求最大公因数” 。技术” 。
2
大衍秋衣术
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【以欧几里得《几何原本》为代表希腊数学的公理化论证】简单地说，一种技术是求解以下方程
ax≡1(mod b)(1）
算法。这里 a ,b 是给定的非零整数，x 是需要的整数，它满足方程 ax≡1(mod b) 表示 ax 除以 b 的余数是 1 。
北宋数学家秦九少的发明 1247年，将其命名为“大雁求一术”（《大雁求一术》） “雁”的由来：序言中，秦九少将此方法与《易经》中的“大衍数”联系起来）。后来，清代数学家黄宗宪进一步简化了秦九少的方法。我们现在呈现的是这个简化版本。

与欧几里得的方法不同，秦九少-黄宗宪的方法使用矩阵。先写一个2行2列的数组
其中a,b,1都是从方程推导出来的（1)，只加了0 。
秦九少-黄宗宪的方法（求一法）如下：第一列数a、b用余数除法（大数除小数）。设得到的商为q，则较大的数为一行减去较小数行对应元素的q次。然后将新得到的矩阵的第一列的两个元素替换为除数，将第一次除法的余数替换为余数。重复前面的操作，直到一个有余数的步除法得到的余数为1（算法结束）。此时，1右边的数字就是想要的x 。找技其实是“得一”的方法，所以也叫“得技” 。

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以欧几里得《几何原本》为代表希腊数学的公理化论证( 二 )