【2015年上海高考数学真题,满分16分,想考好大学,此题必须会】大家好!本文和大家分享一道2015年上海高考数学真题 。这道题满分16分,是一道非常不错的数列题,如果想考上好的大学,高中生必须要牢固掌握这类题型 。整体来说,这道题的难度不算太大,但第三小问还是让不少学生丢了分 。
先看第一小问:求数列{an}的通项公式 。
高中阶段,求数列的通项公式通常有三类题型 。一是给一组数据,通过找规律得到通项公式;二是等差、等比数列通项公式;三是递推法求数列通项公式 。本题考查的就是递推法求数列通项公式 。
将bn的通项公式代入题干中的递推关系,从而可以得到a(n+1)-an=6,即数列{an}的后一项与前一项之差为定值6,即数列{an}是以6为公差、以a1=1为首项的等差数列 。知道了等差数列的首项a1和公差d,直接代入等差数列通项公式an=a1+(n-1)d即可求出所需的通项公式 。
再看第二小问:证明数列{bn}的最大项 。
要通过an的最大项找到bn的最大项,那么就要充分利用an与bn的关系 。我们先将题干中的递推关系进行移项处理,将第n+1项移到一边,第n项移到另一边,这样就可以发现新数列{an-2bn}实际上是一个常数列,所以an-2bn=a1-2b1,即an=2bn+a1-2b1 。这样再将第n0项代入就可以证明出结论了 。
最后看第三小问:求参数λ的取值范围 。
前面第一、二小问都比较简单,但是第三小问却难住了不少同学 。
题目中有一个很重要的信息,就是数列{an}有最大项和最小值,这就提示我们需要先求出数列{an}的通项公式,然后再判断其何时取得最值 。
将bn=λ^n代入递推关系,可以得到a(n+1)-an=2[λ^(n+1)-λ^n] 。看到这儿,很明显可以用累加法求数列{an}的通项公式an=2λ^n-λ 。
求出an的通项公式后,再来找其取最值的条件 。由于an的通项公式出现了指数形式而且底数λ<0,所以最大值只可能出现在偶数项,最小值只可能出现在奇数项,因此我们可以分奇偶项来讨论 。
对于偶数项即第2n项时,变换后的通项公式就变成了2[(λ^2)]^n-λ,而λ^2为正数,所以就可以利用指数函数的单调性求出最值 。而指数函数单调性与底数有关,所以还需要继续将λ分为(-1,0)和(-∞,-1)来讨论 。
对于奇数项即第2n-1项时,通项公式中的指数部分肯定是负数,然后再分为(-1,0)和(-∞,-1)来讨论 。当λ在(-1,0)时,指数部分是增函数,此时有最小值,而当λ在(-∞,-1)上时,指数部分是减函数,没有最小值 。
当然,不要忘了还有λ=-1的情况 。
这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?
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