椭圆问题. _知识百科

通径是过焦点的弦中最短的弦。
简单证明如下：
根据椭圆定义，
【椭圆问题.】椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率) 。
如图，
焦点F，长轴交准线于E
通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE
任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E
GH为梯形ABDC中位线，
AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN
FE≤GN
PQ≤AB
证毕。
补充回答
如果EF与PQ重合，则GH=FE.
如果EF不与PQ重合，则AB在PQ两侧，
不失一般性，设B在PQ左侧，则FB在PQ左侧，
A在PQ右侧。
又准线在PQ右侧，所以BNAC，
得FBFA，AB中点G在BF上，G在PQ左侧，
G到准线距离GH大于PQ与准线之间距离FE，
即FE全部
以焦点F(椭圆，双曲线为右焦点）为极点，FX为极轴的极坐标系中，圆锥曲线的统一极坐标方程是ρ=ep/（1-ecosθ），A（ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),焦点弦长|AB|=ρ1+ρ2=2ep/(1-e^cos^θ),∵0≤cos^θ≤1,∴当θ=90°时,|AB|min=2ep,此时AB⊥极轴OX,即AB是正焦弦(通径),证毕。
说明：用直角坐标系证明烦琐，而极坐标系（见99年前解几教材）是处理焦点弦的利器。

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