含有等腰三角形和直角三角形的求弦长问题 _直角三角形

一、题目
如图，已知△ABC，AC=BC，以AC为直径作圆O交AB于点D，交BC于点E，连接DE.CF是圆O的切线，BF⊥CF于点F，若BF=3，CF=4，则DE的长为________.

文章插图
二、分析
1、分析主要条件，拓展已知条件
直接给出的有等腰三角形、直角三角形，由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性质——三线合一，由直径可以联想到直角三角形，连接AE、CD即可得到两个直角三角形，由等腰三角形的三线合一可得点D是AB中点，由勾股定理可得BC长，至此问题已基本理清.
2、明确问题类型，细化解题方向
本题属于求线段长的问题，常用勾股或相似.现已推导出中点，由中点容易想到两个基本方向：①构造中位线；②构造直角三角形斜边上的中线.DE正好是RT△ABE斜边上的中线，只要能求出AB的长，就可以得到DE的长.
分析至此，求DE的长是比较容易的，有两种方法：①利用相似和勾股求解；②构造矩形，利用矩形和勾股求解.
三、解答
如图，连接AE、CD

文章插图
在RT△BCF中，由勾股定理，得
BC=√(BF^2+CF^2)=5
∴AC=BC=5
∵AC是圆O的直径
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴AD=BD，∠AEB=180°-∠AEC=90°
∴DE=1/2AB
接下来求AB，分两种方法：
1、利用相似和勾股求AB长（全等是特殊的相似）
∵CF是圆O的切线
∴∠ACF=90°
易证△CBF≌△ACE
∴AE=CF=4，CE=BF=3
∴BE=BC-CE=2
在RT△ABE中，由勾股定理，得
AB=√(BE^2+AE^2)=2√5
∴DE=1/2AB=√5
2、构造矩形，利用矩形和勾股求AB长
如图，过点B作BG⊥AC于点G

文章插图
易证四边形BFCG为矩形
∴BG=CF=4，CG=BF=3
∴AG=AC-CG=5-3=2
在RT△ABG中，由勾股定理，得
AB=√(BG^2+AG^2)=2√5
∴DE=1/2AB=√5.
四、小结
1、求线段长，勾股或相似；
2、遇直径，构造直角三角形；
【含有等腰三角形和直角三角形的求弦长问题】3、遇中点，构造中位线或直角三角形斜边上中线.

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