随着 公理化 的进程，大家发现 为了证明新的定理 有时候要 不断增加新公理，那么，有没有一套固定不变的公理，可以推导 出所有 算术定理呢？哥德尔给出了否则的答案：一个算术系统的公理集合，在 没有悖论 和 可以推导出所有算术定理 之间只能二选一 。
在几何方面 。高斯在解析几何的基础上，结合微积分 创立的 古典微分几何 。之后黎曼在其老师高斯的 曲面论 基础上 结合 拓扑学，将 用一个坐标可表示的 欧氏空间，扩展为 用多个坐标同时来表示的 流形，从而开启了 现代微分几何的大门 。另一方面，彭加莱 在 拓扑空间 中 找到了：基本群 和 同调群，两个代数结构，开启了 代数几何 的研究之路 。
时间进入了20世纪 。罗素的 《数学原理》的出版，将“逻辑和集和 是数学基础”，这一观点夯实 。不管是 空间 还是 代数系统，在 布尔巴基 学派 看来都是 结构，《数学原本》将 “数学是对结构 的研究” 这一观点 发展到极致 。但，彭加莱 却认为 数学 是 自由直觉，是人的本能 。
"数学是计算" 这个来自中国数学的看法，一种在默默发展，中国人先后发明了 算筹 和 算盘，帕斯卡 也 研制出了 滚轮式加法器 。丘奇在 递归论 的基础上 发明了 λ-演算 开启了 计算证明 之路，而其 学生 图灵 发明了 图灵机 它比 λ-演算 更简单，但却是等价的 。证明就是计算，如果 图灵机 可以停机，就意味着，所有的证明 都可以在有限时空内 得证，这就是 停机问题 。后来 冯诺依曼 在 图灵机的 基础上建立的 冯诺依曼体系结构 从而 计算机 诞生 。计算机 就是 "数学是计算" 这一思想 的 佐证 和 最终 产物 。
还有一种数学思想，一直被人忽略，那就是出身 赌博的 概率，由于一直找不到研究手段，而发展缓慢，后来结合微积分算术有了长足进步，但根基不牢靠，直到 柯尔莫果洛夫 将 用于 补足 黎曼积分 的 测度论 引入，概率论才真正 长大 。之后，大家发现 社会科学、经济学、AI 中的 事情 往往 符合 统计规律 ，于是 统计学 得到了 长足 发展 和 应用 。概率的思想，甚至将微积分推向一个新领域 随机微积分 。
随着 数学结构的研究，数学家发现 很多 结构 和 它们 之间 的映射 都是 相似，于是又将它们放在一起 称为 范畴 进行研究 。随着 对 范畴 的研究，发现 它其实是一种 基于图的形式语言，并且发现 格论不能 定义 模态词 的问题 可以用 范畴中的 伴随 来解决 。于是 大家 就在设想 是否 范畴 可 代替 集合与逻辑 成为 数学的基础，这件事目前还在研究中...
格罗滕迪克作为范畴的发明人之一，将其用于 代数几何，创造了概形，并将代数几何推向了数学的巅峰 。（这部分我目前还看不太懂，所有只能说这些了） 。
李发现实数即是 空间 又是 代数系统，于是将 空间的推广—流形 和 代数系统—群 结合一起研究 这就是 李群 。
对基本群的进一步研究，出现了 群表示论 和 复叠空间，对 同调群的 研究，出现了 同调论 和 交换代数 。
最后，还记得那个 最古老的算术 吗？克罗内克名言：“上帝创造了自然数，而剩下的一切都是人创造的 。”，数学家一直没有放弃对它的研究，并发展出了 数论，在这方面 数学 的 本质 就是 素数 。
历史上，很多数学家都写过 类似 《...原理》、《...原本》 这样的书，数学太过复杂了，目前还没有大统一的理论 。
【什么是数学的原理？】数学还在前行，还会有新的思想，新的原理 ...
（本人数学水平有限，出错难免，欢迎题主和各位老师批评指正！）

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